miércoles, 6 de mayo de 2015

Ondas Mecánicas.

¿Qué son?

 Una onda mecánica es una perturbación de las propiedades mecánicas de un medio material (posición, velocidad y energía de sus átomos o moléculas) que se propaga en el medio.






Todas las ondas mecánicas requieren:

  • Alguna fuente que cree la perturbación.
  • Un medio en el que se propague la perturbación.
  • Algún medio físico a través del cual elementos del medio puedan influir uno al otro. 
El sonido es el ejemplo más conocido de onda mecánica, que en los fluidos se propaga como onda longitudinal de presión.


Tipos de Ondas Mecánicas 

 Cuando la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación se denomina onda transversal, y cuando la perturbación es paralela a la dirección de propagación se denomina onda longitudinal. 
Onda provocada en el agua.
a) Desplazamiento perpendicular de las partículas = ondas transversales.
b) Desplazamiento hacia adelante de las partículas = ondas longitudinales.
c) Desplazamiento perpendicular y hacia delante de las partículas = suma de ondas transversales y longitudinales.



Ondas Transversales:
Ejemplo de Onda Transversal.
Una onda transversal es una onda en la que cierta magnitud vectorial presenta oscilaciones en alguna dirección perpendicular a la dirección de propagación. Para el caso de una onda mecánica de desplazamiento, el concepto es ligeramente sencillo, la onda es transversal cuando las vibraciones de las partículas afectadas por la onda son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. Las ondas electromagnéticas son casos especiales de ondas transversales donde no existe vibración de partículas, pero los campos eléctricos y magnéticos son siempre perpendiculares a la dirección de propagación, y por tanto se trata de ondas transversales.
Si una onda transversal se mueve en el plano x-positivo, sus oscilaciones van en dirección arriba y abajo que están en el plano y-z.
Onda Longitudinales: 
                            Propagación de una onda.

 Una onda longitudinal es una onda mecánica en la que el movimiento de oscilación de las partículas del medio es paralelo a la dirección de propagación de la onda. Las ondas longitudinales reciben también el nombre de ondas de presión u ondas de compresión. Algunos ejemplos de ondas longitudinales son el sonido y las ondas sísmicas de tipo P generadas en un terremoto.
En teoría de campos también pueden existir ondas no mecánicas de tipo longitudinal, aunque las ondas electromagnéticas son siempre ondas transversales nunca longitudinales debido a que el fotón es una partícula sin masa.


Ondas Periódicas. 

 Las ondas más interesantes de la naturaleza son periódicas. Eso quiere decir que no es una única perturbación la que viaja, sino que son muchas (muchísimas) perturbaciones, una atrás de la otra, todas iguales y espaciadas. Eso es una onda periódica.

En este clase de ondas,las partículas se mueven perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. La forma más simple de onda periódica es la onda armónica (sinusoidal).


Descripción Matemática de una Onda:

Desde un punto de vista matemático, la onda más sencilla o fundamental es la onda sinusoidal descrita por la función
f(x,t) = A\sin(\omega t-kx)\,
donde A es la amplitud de una onda (la elongación máxima o altura de la cresta de la onda). Las unidades de amplitud dependen del tipo de onda — las ondas en una cuerda tienen una amplitud expresada como una distancia (metros), las ondas sonoras como presión (pascales) y ondas electromagnéticas como la amplitud del campo eléctrico (voltios/metros). La amplitud puede ser constante, o puede variar con el tiempo y/o posición. La forma de la variación de amplitud es llamada la envolvente de la onda.
La longitud de onda (simbolizada por \lambda) es la distancia entre dos crestas o valles seguidos. Se mide en unidades de longitud, tales como el metro(m), sus múltiplo o submúltipos según convenga. Así, en la óptica, la longitud de onda de la luz se mide en nanómetros.
Un número de onda angular k puede ser asociado con la longitud de onda por la relación.
k = \frac{2 \pi}{\lambda} \,
El periodo T es el tiempo requerido para que el movimiento de oscilación de la onda describa un ciclo completo. La frecuencia f es el número de ciclos completos transcurridos en la unidad de tiempo (por ejemplo, un segundo). Es medida en hercios. Matemáticamente se define sin ambigüedad como: f=\frac{1}{T} \,
En otras palabras, la frecuencia y el periodo de una onda son recíprocas entre sí.
La frecuencia angular \omega representa la frecuencia en radianes por segundo. Está relacionada con la frecuencia por
\omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T} \,
Hay dos velocidades diferentes asociadas a las ondas. La primera es la velocidad de fase, la cual indica la tasa con la que la onda se propaga, y está dada por:
v_p = \frac{\omega}{k} = {\lambda}f
La segunda es la velocidad de grupo, la cual da la velocidad con la que las variaciones en la forma de la amplitud de la onda se propagan por el espacio. Esta es la tasa a la cual la información puede ser transmitida por la onda. Está dada por:
v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} \,

Ecuación de onda
La ecuación de onda es un tipo de ecuación diferencial que describe la evolución de una onda armónica simple a lo largo del tiempo. Esta ecuación presenta ligeras variantes dependiendo de como se transmite la onda, y del medio a través del cual se propaga. Si consideramos una onda unidimensional que se transmite a lo largo de una cuerda en el eje x, a una velocidad v y con una amplitud u (que generalmente depende tanto de x y de t), la ecuación de onda es:
\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \,
Trasladado a tres dimensiones, sería
\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \nabla^2 u \,
donde \nabla^2 es el operador laplaciano.
La velocidad v depende del tipo de onda y del medio a través del cual viaja.
Jean le Rond d'Alembert obtuvo una solución general para la ecuación de onda en una dimensión:
u(x,t)=F(x-vt)+G(x+vt). \,
Esta solución puede interpretarse como dos impulsos viajando a lo largo del eje x en direcciones opuestas: F en el sentido +x y G en el -x. Si generalizamos la variable x, reemplazándola por tres variables x, y, z, entonces podemos describir la propagación de una onda en tres dimensiones.
La ecuación de Schrödinger describe el comportamiento ondulatorio de las partículas elementales. Las soluciones de esta ecuación son funciones de ondas que pueden emplearse para hallar la densidad de probabilidad de una partícula.

Onda simple

es una perturbación que varía tanto con el tiempo t como con la distancia z de la siguiente manera:
y(z,t) = A(z, t)\ {\rm{sen}}(kz - \omega t + \phi), \,
donde A(z, t) es la amplitud de la onda, k es el número de onda y \phi es la fase. La velocidad de fase vf de esta onda está dada por
v_f = \frac{\omega}{k}= \lambda f, \,
donde \lambda es la longitud de onda.

Onda estacionaria
Una onda estacionaria es aquella que permanece fija, sin propagarse a través del medio. Este fenómeno puede darse, bien cuando el medio se mueve en sentido opuesto al de propagación de la onda, o bien puede aparecer en un medio estático como resultado de la interferencia entre dos ondas que viajan en sentidos opuestos.
La suma de dos ondas que se propagan en sentidos opuestos, con idéntica amplitud y frecuencia, dan lugar a una onda estacionaria. Las ondas estacionarias normalmente aparecen cuando una frontera bloquea la propagación de una onda viajera (como los extremos de una cuerda, o el bordillo de una piscina, más allá de los cuales la onda no puede propagarse). Esto provoca que la onda sea reflejada en sentido opuesto e interfiera con la onda inicial, dando lugar a una onda estacionaria. Por ejemplo, cuando se rasga la cuerda de un violín, se generan ondas transversales que se propagan en direcciones opuestas por toda la cuerda hasta llegar a los extremos. Una vez aquí son reflejadas de vuelta hasta que interfieren la una con la otra dando lugar a una onda estacionaria, que es lo que produce su sonido característico.
Las ondas estacionarias se caracterizan por presentar regiones donde la amplitud es nula (nodos) y otras donde es máxima (vientres). La distancia entre dos nodos o vientres consecutivos es justamente \lambda/2, donde \lambda es la longitud de onda de la onda estacionaria.
Rapidez de una Onda Transversal.
Vamos a analizar la propagación de un movimiento ondulatorio en una cuerda sometida a una tensión y a determinar la velocidad de propagación de las ondas transversales que se forman en la misma.

 La onda se propaga con una velocidad constante a lo largo de la cuerda. Si pinchamos una cuerda de guitarra y soltamos, se forma una onda que se propaga por la cuerda y rebota en los puntos de sujeción.

 Se propaga con una velocidad que depende de la tensión del pellizco y de la masa por unidad de longitud de la cuerda. A igualdad de pellizco la velocidad de la onda en una "prima"-la cuerda inferior de la guitarra y más delgada- no es igual a aquella con que se propaga en un "bordón".

 Los elementos materiales de la cuerda se mueven perpendicularmente a ella, arriba y abajo, con velocidad variable dada por la ecuación de un movimiento vibratorio armónico simple, pero no se desplazan a lo largo de ella. La onda se propaga por la cuerda con una velocidad constante que depende del impulso que se le aplica y del grosor de la cuerda.

 Pellizquemos una cuerda. Ahora sólo se esta formando y se ha propagado a un pequeño elemento de cuerda. Veamos esto pormenorizad amente.

 La tensión de la cuerda se puede suponer que tiene dos componentes uno vertical y otro horizontal.

 Las componentes horizontales se anulan al estar dirigidos en sentidos opuestos y neutralizados por la sujeción de las cuerda. La componente vertical de la tensión acelera la masa de un pequeño trozo de la cuerda por donde se propagó la onda en un tiempo "t", muy pequeño (la parte inclinada de la figura).

 tensión
La densidad lineal, m,es la masa total de la cuerda dividida por su longitud.

 Suponiendo una densidad lineal m, de la cuerda representa una masa de cuerda a la que se propagó de m=m·v·t.

 La onda se propaga con velocidad "v" y en el tiempo "t" recorre una distancia "v·t"

La velocidad de vibración vertical es variable como corresponde a un M.A.S. y es u=A w sen wt

 La fuerza vertical comunica en ese tiempo un impulso hacia arriba al elemento de cuerda, trozo de masa mvt. , va a incrementar su cantidad de movimiento:

 Fy t=m u

 T (sen a )· t=m vt· u

 Tal como vemos en la figura podemos deducir de lo que avanza la onda mientras transcurre el tiempo "t" y la distancia que bajo que: sen a=tg a =v·t / u·t

 Por lo tanto:

 T .(u/v)= m v u

 T / v= m v
Energía del Movimiento Ondulatorio.

 El movimiento ondulatorio es la propagación de una onda por un medio material o en el vacío. Sin que exista la transferencia de materia, ya sea por ondas mecánicas o electromagnéticas.

Una onda es una perturbación de alguna propiedad de un medio (densidad, presión, campo electromagnético,...).

La onda transporta energía.Y así todo tipo de onda se adquiere mas fácil ya sea haciendo una ecuación o sustituyendo la respuesta mas rápidamente.


Clasificación de las ondas

 Pueden ser clasificadas de distintas formas, dependiendo de los factores que se tengan en cuenta para hacerlo o dependiendo de su materia la cual varia dependiendo de la onda o su modo de propagación:





En función del medio de propagación:

 -Mecánicas (medio material): las ondas mecánicas necesitan un medio elástico (sólido, líquido o gaseoso) para propagarse. Las partículas del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo que no existe transporte neto de materia a través del medio. Como en el caso de una alfombra o un látigo cuyo extremo se sacude, la alfombra no se desplaza, sin embargo una onda se propaga a través de ella. Dentro de las ondas mecánicas tenemos las ondas elásticas, las ondas sonoras y las ondas de gravedad.
-No mecánicas (medio no material): son aquellas que no necesitan de un medio elástico, se propagan por el vacío. Dentro de estas ondas se encuentran las electromagnéticas.

 En función de su propagación:

 -Escalares: es una magnitud, sin dirección ni sentido. Por ejemplo, la presión en un gas, o la onda emitida por las partículas elementales del átomo.
-Vectoriales: la magnitud tiene una dirección y un sentido.
-Ondas longitudinales: el movimiento de las partículas que transporta la onda es paralelo a la dirección de propagación de la misma. Por ejemplo, el sonido.
-Ondas transversales: las partículas se mueven perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. Por ejemplo, las ondas electromagnéticas (son ondas transversales perpendiculares entre sí).

 En función de su periodicidad:

 -Ondas periódicas: la perturbación local que las origina se produce en ciclos repetitivos por ejemplo una onda conoidal.
-Ondas no periódicas: la perturbación que las origina se da aisladamente o, en el caso de que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen características diferentes. Las ondas aisladas se denominan también pulsos.
En función de su frente de onda
-Ondas unidimensionales: las ondas unidimensionales son aquellas que se propagan a lo largo de una sola dirección del espacio, como las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una dirección única, sus frentes de onda son planos y paralelos.
-Ondas bidimensionales o superficiales: son ondas que se propagan en dos direcciones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan también ondas superficiales. Un ejemplo son las ondas que se producen en la superficie de un lago cuando se deja caer una piedra sobre él.

-Ondas tridimensionales o esféricas: son ondas que se propagan en tres direcciones. Las ondas tridimensionales se conocen también como ondas esféricas, porque sus frentes de ondas son esferas con céntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones. El sonido es una onda tridimensional. Son ondas tridimensionales las ondas sonoras (mecánicas) y las ondas electromagnéticas.
Ejercicios:
Ejemplo resuelto 1

 La siguiente gráfica representa el perfil de una onda transversal que se propaga a razón de 200 m/s para un instante dado.

 a) ¿Cuál es su longitud de ondas?

 b) ¿Qué valor tiene la amplitud?

 c) ¿Cuál es el valor de su frecuencia?
Observación : Análisis
La gráfica corresponde a una onda transversal. Ella nos informa directamente sobre la longitud de onda y la amplitud de la onda.

 Desde el punto de vista práctico puedes aplicar la siguiente propuesta:

 Longitud de onda (λ): se puede determinar midiendo la distancia entre creta y cresta, o entre valle y valle.

 Amplitud (A): El máximo valor que corresponda a la elongación máxima. Aparece representada en el eje de las ordenadas.

 Conociendo la velocidad de propagación de la onda que se brinda como dato y el valor del período que puedes extraerlo de la gráfica, determinas la frecuencia. Las siguientes ecuaciones relacionan estas tres magnitudes. despejando encuentras la que puedes emplear.
Respuestas

 a) λ= 12 cm

 b) A= 9 cm

 c) f = 1 666 Hz
Ejemplo resuelto 2

Se pone a oscilar el extremo de una cuerda con una frecuencia de 2 Hz y una amplitud de 3 cm.Si la perturbación se propaga a una velocidad de 0,5 m/s, escribe la ecuación que representa el movimiento por la cuerda.

Observación : Análisis
Se indican algunos de los valores que caracterizan el movimiento ondulatorio de una cuerda que se ha puesto a oscilar por uno de sus extremos. Con esos valores y realizando los cálculos necesarios utilizando las ecuaciones que caracterizan a este tipo de movimiento, puedes conocer los que necesitas para escribir la ecuación que se pide.

La frecuencia angular es: ω = 2π f = 4π rad/s

El número de ondas es:


Ecuación del movimiento de la cuerda:

y= A sen(ωt - kx) = 0,03 cos (4πt - 8πx)

Operando


y = 0,03 sen 4π (t -2x) ------------- (m)


Vídeos:

 Ondas Mecánica.



 Tipos de Ondas Mecánicas.


Ondas Periódicas.
Movimiento Ondulatorio.
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